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数学建模C题

1. 决策变量：

$$ x_{i,j,t} = \begin{cases} 1 & \text{如果地块 } i \text{ 在第 } t \text{ 季种植作物 } j, \ 0 & \text{否则}. \end{cases} $$

2. 目标函数：利润最大化：

最大化总利润： $$ \text{Maximize } Z = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M} \sum_{t=1}^{2} \left( p_j \cdot r_j \cdot A_i \cdot x_{i,j,t} - c_{i,j} \cdot A_i \cdot x_{i,j,t} \right) $$ -

3. 约束条件：

3.1 地块类型约束：

根据不同类型的地块，施加不同的种植约束。

  1. 平旱地、梯田、山坡只能种一季粮食作物： 对这些地块类型 $T_i \in {\text{平旱地, 梯田, 山坡}}$，只能种一季粮食： $$ \sum_{j \in S_{\text{grain}}} x_{i,j,1} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i \in {\text{平旱地, 梯田, 山坡}} $$ 且不能种第二季： $$ \sum_{j=1}^{M} x_{i,j,2} = 0 \quad \forall i \text{ such that } T_i \in {\text{平旱地, 梯田, 山坡}} $$

  2. 水浇地只能种一季水稻或两季蔬菜： 对于水浇地 $T_i = \text{水浇地}$，可以种一季水稻或两季蔬菜： $$ \sum_{j \in S_{\text{rice}}} x_{i,j,1} + \sum_{j \in S_{\text{vegetable1}}} x_{i,j,1} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i = \text{水浇地} $$ 且第二季只能种特定蔬菜： $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable2}}} x_{i,j,2} \leq 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i = \text{水浇地} $$

  3. 普通大棚必须种一季蔬菜和一季食用菌： 对于普通大棚 $T_i = \text{普通大棚}$，必须种一季蔬菜和一季食用菌： $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable}}} x_{i,j,1} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i = \text{普通大棚} $$ $$ \sum_{j \in S_{\text{fungi}}} x_{i,j,2} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i = \text{普通大棚} $$

  4. 智慧大棚必须种两季蔬菜： 对于智慧大棚 $T_i = \text{智慧大棚}$，每年必须种两季蔬菜： $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable}}} x_{i,j,1} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i = \text{智慧大棚} $$ $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable}}} x_{i,j,2} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i = \text{智慧大棚} $$

3.2 豆类轮作约束：

每块地至少每三年种一次豆类作物。假设豆类作物集合为 $S_{\text{bean}}$： $$ \sum_{j \in S_{\text{bean}}} \left( x_{i,j,1} + x_{i,j,2} \right) \geq 1 \quad \forall i $$

3.3 作物不分散约束（种植面积限制）：

每种作物 $j$ 的种植总面积不能小于最小阈值 $A_{\text{min},j}$： $$ \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{2} A_i \cdot x_{i,j,t} \geq A_{\text{min},j} \quad \forall j $$

3.4 非负和二进制变量约束：

决策变量 $x_{i,j,t}$ 为二进制变量，表示是否种植作物： $$ x_{i,j,t} \in {0, 1} \quad \forall i, \forall j, \forall t $$

完整的数学模型总结：

目标函数： $$ \text{Maximize } Z = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{M} \sum_{t=1}^{2} \left( p_j \cdot r_j \cdot A_i \cdot x_{i,j,t} - c_{i,j} \cdot A_i \cdot x_{i,j,t} \right) $$

约束条件： 1. 平旱地、梯田、山坡种植限制： $$ \sum_{j \in S_{\text{grain}}} x_{i,j,1} = 1 \quad \forall i \text{ such that } T_i \in {\text{平旱地, 梯田, 山坡}} $$ $$ \sum_{j=1}^{M} x_{i,j,2} = 0 \quad \forall i \text{ such that } T_i \in {\text{平旱地, 梯田, 山坡}} $$

  1. 水浇地种植限制： $$ \sum_{j \in S_{\text{rice}}} x_{i,j,1} + \sum_{j \in S_{\text{vegetable1}}} x_{i,j,1} = 1 $$ $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable2}}} x_{i,j,2} \leq 1 $$

  2. 普通大棚种植限制： $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable}}} x_{i,j,1} = 1 $$ $$ \sum_{j \in S_{\text{fungi}}} x_{i,j,2} = 1 $$

  3. 智慧大棚种植限制： $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable}}} x_{i,j,1} = 1 $$ $$ \sum_{j \in S_{\text{vegetable}}} x_{i,j,2} = 1 $$

  4. 豆类轮作约束： $$ \sum_{j \in S_{\text{bean}}} \left( x_{i,j,1} + x_{i,j,2} \right) \geq 1 $$

  5. 种植面积限制： $$ \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{2} A_i \cdot x_{i,j,t} \geq A_{\text{min},j} $$

  6. 二进制约束：

$$ x_{i,j,t} \in {0, 1} \quad \forall i, \forall j, \forall tff $$